Нам поможет провести необходимое обобщение предположение об обращении на рынке так называемых зависящих от пути опционов (по-английски – path-dependent options). В финансовой литературе под ними обычно понимают обычные опционы, но с дополнительными свойствами. Например, расчет по такому опциону может проводиться в зависимости от некоторых средних цен базового актива за срок действия опциона или от минимальной или максимальной его цены. По некоторым разновидностям таких опционов предполагаются аналогичные обычным опционам выплаты, но при условии, что в какие-то моменты времени в течение срока жизни опциона цена актива была не менее или не более заданного уровня (барьерные опционы).
В работе зависящие от пути опционы мы будем толковать расширительно. Под n-периодными зависящими от пути опционами мы здесь будем понимать инструменты, определяемые в общем случае всей траекторией движения цены базового актива. Причем эта зависимость от траектории может носить произвольный характер, что и порождает значительное разнообразие таких инструментов. Отсутствие на сегодняшних финансовых рынках предлагаемых опционов во всем их многообразии делает развиваемую теорию в некоторой степени умозрительной. Тем не менее она имеет принципиальное значение и представляет теоретический интерес.
Среди всех зависящих от пути опционов будем выделять некоторые базисные инструменты, допускающие сравнительно простое описание и, во многом, заимствующие черты обычных опционов колл или пут. Их мы в работе будем называть A-опционами (альфа-опционами). Они определяются, вообще говоря, 2n параметрами, n из которых, обозначаемые E1, E2,…, En, играют роль страйков в последовательные моменты времени t Î T, а другие n – a1, a2,…, an, принимающие лишь значения –1 и +1, определяют тип опциона (по аналогии с опционами колл и пут). По этим инструментам, как и для обычного опциона с n-периодным сроком действия, выплачивается доход в момент t = n, но величина этого дохода определяется последовательностями цен базового актива и назначенных страйков в моменты времени t Î T и типом опциона.
Тип A-опциона будет задаваться следующим образом. Компонента платежной функции, относящаяся к моменту времени tÎT, по аналогии с обычными опционами колл или пут будет определяться одной из двух функций – max(0, xt–Et) (т.е. платежной функции колла) или max(0, Et–xt) (т.е. платежной функции пута). Поэтому тип A-опциона будет определяться тем, какая именно последовательность этих функций используется. Эту последовательность будем для удобства задавать в виде некоторого упорядоченного набора "–1" и "+1" и обозначать через a1, a2,…, an, причем "–1" отвечает платежной функции колла, а "+1" – пута.
Точное определение A-опциона дается следующим образом. Пусть последовательные цены базового актива образуют вектор x = (x1, x2,…, xn), последовательные страйки – E = (E1, E2,…, En), а a = (a1, a2,…, an) – произвольный упорядоченный набор –1 и +1. Тогда A-опцион A(E; a) определяется платежной функцией
a(x; E; a) = max(0, a1(E1–x1))×…×max(0, an(En–xn)), (1)
т.е.
A(E; a) = G{a(x; E; a)}.
Таким образом, тип опциона однозначно определяется векторным параметром a. Всего существуют 2n различных типов A-опционов. В однопериодном случае опцион A(E; a) превращается в опцион колл при a = –1 и в опцион пут при a = +1.
Замечание. Мы вводим зависящие от пути опционы платежными функциями, аргументом которых служит вектор x = (x1, x2,…, xn) последовательных цен базового актива. Однако вместо такого аргумента платежной функции можно рассмотреть вектор не самих цен актива, а относительных доходов за последовательные периоды y = (y1, y2,…, yn), где yk = xk/xk–1, k = 1, 2 ,…, n. В этом случае принципиальных изменений в предлагаемых конструкциях не будет, и все полученные выше формулы сохраняют силу. Нужно только все введенные параметры (страйки) и вероятностные характеристики (плотности вероятности и функции распределения) соотносить с новыми переменными. Аналогично все сказанное далее о производных инструментах для A-опционов и наведенных распределениях вероятностей для цен актива переносится на относительные доходы.
