ОЦЕНКА АННУИТЕТА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ВЕЛИЧИНОЙ ПЛАТЕЖА



где (q = 1 -r). Сделав преобразования можно найти, что:


Экономический смысл мультиплицирующего множителя FМ заключается в следующем: он показывает, чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную единицу (например, один рубль) к концу срока его действия. Предполагается, что производится лишь начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Множитель FM часто используется в финансовых вычислениях, и поскольку легко заметить, что значения в общем виде зависят лишь от r и n, их можно табулировать.
Пример
Вам предлагают сдать в аренду участок на три года и выбрать один из двух вариантов оплаты аренды: а) 10 млн.руб. в конце каждого года; б) 35 млн.руб. в конце трехлетнего периода. Какой вариант более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?
Первый вариант оплаты как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при n = 3 и А = 10 млн. руб. В этом случаи имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условною 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода накопленная сумма может быть рассчитана:
FV = А*FМЗ(20%, 3) = 10*3,640 = 36,4 млн. руб.
Таким образом, расчет показывает, что вариант (а) более выгоден.
Общая постановка обратной задачи оценки срочного аннуитета постнумерандо также достаточно наглядна. В этом случае производится оценка будущих денежных поступлений с позиции текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, с которого начинают отсчитываться равные временные интервалы, входящие в аннуитет.
Экономический смысл расчетов по предыдущей задаче состоит в следующем: с позиции текущего момента реальная стоимость данного аннуитета может быть оценена в 21,064 млн. руб.
Общая формула для оценки текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо выводится из базовой формулы и имеет вид:


тогда,


Экономический смысл дисконтирующего множителя FM4(r,n) заключается в следующем: он показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося n равных периодов с заданной процентной ставкой r.
Пример
Предложено инвестировать 100 млн.руб. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями (ежегодно по 20 млн. руб.). По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 млн. руб. Принимать ли это предложение, если можно «безопасно» депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?
Для принятия решения необходимо рассчитать и сравнить две суммы. При депонировании денег в банк к концу пятилетнего периода на счете будет сумма:


В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 млн. руб. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. Денежный поток в этом случае можно представить двояко:
а) как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20, n = 5, r = 20% и единовременное получение суммы в 30 млн. руб.;
б) как срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 20 и 30 млн. руб. В первом случае имеем:



Во втором случае на основании формулы имеем:


Естественно, что оба варианта привели к одинаковому ответу. Таким образом, общая сумма капитала к концу пятилетнего периода будет складываться из доходов от депонирования денег в банке (107,06 млн. руб.), возврата доли от участия в венчурном проекте за последний год (20 млн. руб.) и единовременного вознаграждения (30 млн. руб.). Общая сумма составит, следовательно, 157,06 млн. руб.

Предложение экономически нецелесообразно.
МЕТОД ДЕПОЗИТНОЙ КНИЖКИ
Можно дать иную интерпретацию расчета текущей стоимости аннуитета с помощью метода «депозитной книжки», логика которого такова. Сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде процентов; при снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается. Как Раз эта ситуация и имеет место в случае с аннуитетом.



Текущая стоимость аннуитета - это величина депозита с общей суммой причитающихся процентов, ежегодно уменьшающаяся на равные суммы. Эта сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. Таким образом, погашение исходного долга осуществляется постепенно в течение всего срока действия аннуитета. Структура годового платежа постоянно меняется - начальные периоды в нем преобладают начисленные за очередной период проценты; с течением времени доля процентных платежей постоянно уменьшается и повышается доля погашаемой части основного долга.

Логику и счетные процедуры метода рассмотрим на простейшем примере.
Пример
В банке получена ссуда на пять лет в сумме 20000 дол, под 13% годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Требуется определить величину годового платежа.
Для лучшего понимания логики метода депозитной книжка целесообразно рассуждать с позиции кредитора. Для банка данный контракт представляет собой инвестицию в размере 20000 дол., т.е. отток денежных средств, что и показано на схеме. В дальнейшем в течение пяти лет банк будет ежегодно получать в конце года сумму А, причем каждый годовой платеж будет включать проценты за истекший год и часть основной суммы долга.

Так, поскольку в течение первого года заемщик пользовался ссудой в размере 20000 дол., то платеж, который будет сделав в конце этого года, состоит из двух частей: процентов за год в сумме 2600 дол. (13% от 20000) и погашаемой части долга в сумме (А - 2600 дол). В следующем году расчет будет повторен при условии, что размер кредита, которым пользуется заемщик, составит уже меньшую сумму по сравнению с первым годом, а именно: (20000-А + 2600). Отсюда видно, что с течением времени сумма процентов снижается, а доля платежа возрастает.

Данный финансовый контракт можно представить в виде аннуитета постнумерандо, в котором известна его текущая стоимость, процентная ставка и продолжительность действия. Поэтому для нахождения величины годовою платежа А можно воспользоваться известной формулой.
Динамика платежей показана в Таблице. Отметим, что данные в ходе вычислений округлялись, поэтому величина процентов в последней строке найдена балансовым методом.

Год
 Остаток ссуды на начало года
 Сумма годового платежа
 В том числе
 Остаток на конец года
Проценты за год
 Погашенная часть долга
1
 2000
 5687
 2600
 3087
 16913
2
 16913
 5687
 2199
 3488
 13425
3
 13425
 5687
 1745
 3942
 9483
4
 9483
 5687
 1233
 4454
 5029
5
 5029
 5687
 658
 5029
 0


Данная таблица позволяет ответить на целый ряд дополнительных вопросов, представляющих определенный интерес для прогнозирования денежных потоков. В частности, можно рассчитать общую сумму процентных платежей, величину процентного платежа в 1-м периоде, долю кредита, погашенную в первые 11 лет, и т.п.
ОЦЕНКА АННУИТЕТА С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ВЕЛИЧИНОЙ ПЛАТЕЖА
На практике возможны ситуации, когда величина платежа меняется со временем в сторону увеличения или уменьшения. В частности, при заключении договоров аренды в условиях инфляции может предусматриваться периодическое увеличение платежа, компенсирующее негативное влияние изменения цен. Оценка аннуитета в этом случае может также выполняться путем несложных расчетов с помощью финансовых таблиц. Технику вычислений рассмотрим на простейшем примере.7
Пример
Сдан участок в аренду на десять лет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо на следующих Условиях: в первые шесть лет по 10 млн. руб., в оставшиеся четыре года по 11 млн. руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка, используемая аналитиком, равна 15%.
Решать данную задачу можно различными способами в зависимости от того, какие аннуитеты будут выделены аналитиком.
Прежде всего отметим, что приведенная стоимость денежного потока должна оцениваться с позиции начала первого временного интервала. Рассмотрим лишь два варианта решения из нескольких возможных. Все эти варианты основываются на свойстве аддитивности рассмотренных алгоритмов в отношении величины аннуитетного платежа.
1. Исходный поток можно представить себе как сумму двух аннуитетов: первый имеет А = 10 и продолжается десять лет; второй имеет А = 1 и продолжается четыре года. По формуле можно оценить приведенную стоимость каждого аннуитета. Однако второй аннуитет в этом случае будет оценен с позиции начала седьмого года, поэтому полученную сумму необходимо дисконтировать к началу первого года.

В этом случае оценки двух аннуитетов будут приведены к одному моменту времени, а их сумма даст оценку приведенной стоимости исходного денежного потока.
PV = 10*FМ4(15%,10)+FМ2(15%,6)*1*FМ4(15%,4) =
= 10*5,019+2,855*1*0,432=51,42 млн. руб.
2. Исходный поток можно представить себе как разность двух аннуитетов: первый имеет А = 11 и продолжается десять лет; второй имеет А = 1 и, начавшись в первом году, заканчивается в шестом. В этом случае расчет выглядит так:
РV = 11*FМ4(15%,10)-1*FМ4(15%,6)=
=11*5,019-1*3,784 = 51,42 млн. руб.
БЕССРОЧНЫЙ АННУИТЕТ
Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время (в западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет).
В этом случае прямая задача смысла не имеет. Что касается обратной задачи, то она решается также по приведенной выше формуле. Поскольку при



следовательно,


Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета. В этом случае известен размер годовых поступлений; в качестве коэффициента дисконтирования г обычно принимается гарантированная процентная ставка (например, процент, предлагаемый государственным банком).
Пример
Определить текущую стоимость бессрочного аннуитета с ежегодным поступлением 420 тыс. руб., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 140/0 годовых.
PV = 420 : 0,14 = 3 млн. руб.
Таким образом, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 3 млн. руб., он представляет собой выгодную инвестицию.
Заключение
Подводя итог можно сделать следующие общие выводы:
1. Управление денежными потоками является одним из важнейших направлений деятельности финансового менеджера. Оно включает в себя расчет времени обращения денежных средств (финансовый цикл), анализ денежного потока, его прогнозирование, определение оптимального уровня денежных средств, составление бюджетов денежных средств.
2. Цель управления денежными средствами состоит в том, чтобы инвестировать избыток денежных доходов для получения прибыли, но одновременно иметь их необходимую величину для выполнения обязательств по платежам и одновременного страхования на случай непредвиденных ситуаций.
3. Анализ движения денежных средств позволяет с известной долей точности объяснить расхождение между величиной денежного потока, имевшего место на предприятии в отчетном периоде, и полученной за этот период прибылью.
4. К денежным средствам могут быть применены модели, разработанные в теории управления запасами и позволяющие оптимизировать величину денежных средств. В западной практике наибольшее распространение получили модель Баумола и модель Миллера - Орра.
5. Совершенствование управления денежными средствами предприятий заключается в правильном анализе денежных поступлений и определении их типа. Одним из основных элементов такого финансового анализа является оценка денежного потока типа постнумерандо и пренумерандо, распространенным частным случаем этих потоков является аннуитет.
Список литературы


  1. Финансовое управление фирмой, М. Экономика, 1998
  2. Справочник финансиста. 1998
  3. Шеремет А.Д., Сайфулин, Финансы предприятия. М. Экономика 1998
  4. Ковалев В.В. Финансовый анализ, М. Экономика 1998

1 Финансовое управление фирмой, М. Экономика, 1998, с. 322
2 Финансовое управление фирмой, М. Экономика, 1998, с. 329
3 Финансовое управление фирмой, М. Экономика, 1998, с. 322
4 Финансовое управление фирмой, М. Экономика, 1998, с. 349
5 Финансовое управление фирмой, М. Экономика, 1998, с. 355
6 Финансовое управление фирмой, М. Экономика, 1998, с. 360
7 Ковалев В.В. Финансовый анализ, М. Экономика 1998, с. 249



Содержание раздела