4.1.3.3.4. Дополнительные возможности и практическое применение метода линейного программирования
Использование методов линейного программирования для формирования оптимальной продуктовой программы возможно лишь при соблюдении определенных математических условий:
1. Целевая функция и ограничения должны быть заданы в линейной форме.
2. Количественные ограничения должны быть заданы в форме постоянных (констант).
3. Значения решения могут выступать в любой делимой форме.
Условие линейности с экономической точки зрения означает, что как коэффициенты целевой функции, т.е. суммы покрытия по продуктам, так и коэффициенты ограничений, т.е. потребности в мощностях по продуктам, должны быть постоянными величинами. Постоянство специфических сумм покрытия предполагает постоянство рыночных цен и постоянство издержек на единицу продукта. Эти условия значительно ограничивают возможности применения методов линейного программирования, прежде всего для определения оптимальной производственной программы. Предположение о постоянстве сбытовых цен означало бы для предприятия отказ от проведения определенной политики цен (например, предоставления скидок за большие и надбавок за минимальные объемы поставок); постоянство производственных издержек означало бы, что предприятие не будет приспосабливаться к изменениям цен рынка снабжения и не станет проводить внутрипроизводственные мероприятия по использованию сбытовых шансов (например, сверхурочная работа). Применение стандартного метода линейного программирования возможно только в таких ситуациях принятия решения, в которых от указанных выше мероприятий отказываются сознательно, или на предприятиях, на которых подобные мероприятия невозможны в силу технических особенностей производственного процесса либо параметров рынка.
Однако эти ограничения во многих случаях можно относительно просто устранить, модифицировав стандартный метод линейного программирования. Если, например, различным группам клиентов предоставляются разные скидки, то это можно учесть в модели планирования, в которой минимальные и максимальные объемы сбыта определяются раздельно для отдельных интервалов скидок. В этом случае суммы покрытия в целевой функции устанавливаются в каждом интервале скидок и по каждому виду продукта (при трех интервалах скидок один вид продукта появляется три раза с различной суммой покрытия). При формулировании ограничений по сбыту отдельные виды продуктов в различных интервалах скидок задаются в максимальных объемах. В целом нелинейная целевая функция распадается при этом на несколько линейных функций, и сфера действия кусочных функций определяется при установлении ограничений по сбыту.
Подобные случаи встречаются на практике часто, так что применение методов линейного программирования возможно даже в случае, когда условие постоянства коэффициентов целевой функции и ограничений выполняется не полностью.
Если отдельные производственные процессы осуществляются с различной степенью интенсивности, то методы линейного программирования могут быть использованы как альтернативные для расчета соответствующих уровней интенсивности с различными суммами покрытия и коэффициентами производственных ограничений по каждому виду продуктов, что определяет соответствующую оптимальную продуктовую программу. Сравнение общих сумм покрытия для отдельных оптимальных программ покажет наиболее выгодный уровень интенсивности при заданных возможностях производства и сбыта. Эта возможность предоставляется, в частности, в том случае, когда уровень интенсивности всех производственных процессов на предприятии может меняться в одинаковой степени.
Модифицировав стандартный метод линейного программирования, можно наряду с оптимальным выбором адаптирующих мероприятий интегрировать определение производственной программы, максимизирующей прибыль, с выбором оптимальных технологических процессов. Для этого производственные процессы с возможными технологиями по каждому виду продукции описываются в параметрах времени (основное рабочее время, сверхурочные часы) и определяются как изолированные процессы в отдельных интервалах интенсивности.
Модификация рассматриваемого метода позволяет соблюдать условие линейности и при сложных производственных и рыночных условиях. Но пока существуют производственные и рыночные отношения, при которых сумма покрытия на единицу продукта с увеличением объемов сбыта непрерывно меняется, методы линейного программирования для планирования оказываются несостоятельными. Определение оптимальной программы в этом случае возможно лишь более сложными методами нелинейного программирования, требующими значительно более высоких вычислительных затрат.
Количественные ограничения в форме констант в практике работы предприятий налагаются в случае производства с постоянными мощностями. Это условие в краткосрочном плановом периоде может рассматриваться как выполнимое. Возможные краткосрочные изменения мощностей при этом могут учитываться через процессы адаптации во времени и/или по интенсивности.
Целочисленность решения означает в экономическом плане любую делимость произведенных объемов продукции и действующих факторов производства. Это условие не ограничивает возможности применения методов линейного программирования в серийном и массовом производстве. Выпускаемые объемы продукции при этих типах производства так велики, что округление нецелочисленного результата решения может лишь незначительно изменить оптимальное его значение. При количественном определении ресурсов использование средств производства и рабочей силы может измеряться в любых делимых единицах времени. Неделимость величин, описывающих применяемые материалы, устраняется путем округления значений решения.
На предприятиях с единичным или монопродуктовым производством использование методов линейного программирования при планировании производственной программы возможно лишь условно. Округление результата может привести к значительным изменениям значения оптимального решения.
В основе всех рассмотренных до сих пор методов линейного программирования, применяемых при планировании, лежат детерминантные оценки. Но ситуация с внутрипроизводственными и внешними данными на предприятии часто такова, что условие детерминантности значений не выполняется и приходится исходить из стохастических (вероятностных) значений. Часто достаточно знать область рассеивания изменений коэффициентов целевой функции и ограничений по мощностям или специфических сумм покрытия, или действующих мощностей, которые незначительно меняют оптимальное значение решения, принятого посредством методов линейного программирования. Для определения области рассеивания в уравнения линейного программирования вводят дополнительные переменные для всех коэффициентов, значения которых могут меняться внутри этой области.
Можно решить эту проблему методами параметрического линейного программирования и ответить на интересующие вопросы, например, как меняется решение целевой функции в зависимости от изменения коэффициентов или какие значения коэффициентов нужно установить, чтобы значение целевой функции не опустилось ниже необходимого минимума.
При помощи параметрического линейного программирования возможно также взаимосвязанное планирование производственной программы и сбыта.
Таким образом, методы линейного программирования приемлемы для планирования оптимальной с точки зрения результата (прибыли) программы в серийном производстве при наличии "узких мест", а при линейном подходе к планированию производственной (продуктовой) программы можно интегрировать ряд других плановых задач.
Информационная ценность планирования продуктовой программы для руководства предприятия увеличивается, если при крупносерийном производстве оно строится на планировании оптимальной программы производства и детализируется посредством моделирования.
В заключение можно показать возможности использования методов линейного программирования на примере планирования оптимальной продуктовой программы в автомобильной промышленности.
Для краткосрочного и среднесрочного планирования продуктовой программы на одном из крупных автомобилестроительных предприятий делаются расчеты по видам и объемам выпуска автомобилей и узлов, которые должны изготавливаться и продаваться на рынке в последующие один-два месяца и плановый год. Если не принимать во внимание закупаемые предприятием готовые изделия для комплектации автомобилей и внеплановые изменения складских запасов, то продуктовая программа должна находиться в границах между максимальным и минимальным объемами продукции с учетом объемов по уже заключенным контрактам каждого типа продукта в разрезе рынков, наличия производственных мощностей и ограничений по объемам поставок определенных узлов и комплектующих. Планируемый объем продуктовой программы зависит от общего числа вариантов продуктов (например, легковой автомобиль с различным стандартным и дополнительным оснащением), дифференцирован по группам страновых или региональных рынков. Поскольку для отдельных вариантов продуктов исчислены специфические (поштучные) суммы покрытия, а потребности в мощностях могут быть определены посредством установления пропорций, то для оптимизации продуктовой программы можно использовать методы линейного программирования.
Проведенное еще в 1979 г. на одном из крупных предприятий автомобильной промышленности совместно с Институтом планирования предприяти Университета Гиссена (Institutfur Unterneh-mungsplanung (ЮР), Gifieri) предварительное исследование показало, что уже на основании некоторого числа отобранных переменных и ограничений можно получить хорошие практические результаты.
Для экспериментального проекта было выбрано 8 продуктовых линий (семь типов легковых машин и один тип двигателя, поставляемого на сторону), которые были дифференцированы по вариантам оснащения и по группам страновых рынков (Индия, Европа, США и Канада) на 90 переменных принятия решения. Система ограничений состояла из 99 неравенств по следующим группам ограничений:
- в производстве (заготовительное производство, покраска, сборка),
- в снабжении (двигатели, коробки передач),
- в сбыте (максимальный и минимальный объемы, дифференцированные по группам стран и продуктов),
- для реализуемых на сторону двигателей дополнительно были заданы постоянные объемы (в качестве максимальных и минимальных объемов поставок).
Проведенные на ЭВМ расчеты показали преимущества оптимизации, которые особенно проявились при анализе чувствительности сумм покрытия (целевая функция), а также ограничений при параметрических изменениях ограничений в сфере сбыта и при альтернативных расчетах для нескольких сбытовых и производственных стратегий.
В учебных целях задача оптимизации продуктовой программы была разработана более детально (около 1500 переменных). Достоинства планирования при помощи модели состоят не только в оптимизации сумм покрытия продуктовой программы, но и в более детальном учете свободных мощностей и лучшем понимании сущности альтернативных издержек "узких мест". Для подготовки решений на базе программы оптимизации периодически проводился анализ чувствительности и параметрический анализ, а также определялись альтернативные стратегии, которые затем учитывались в текущем планировании. На практике модель может быть использована и для подготовки годовых и внутригодовых бюджетов с учетом фактической информации отделов сбыта, снабжения, производства и контроллинга.
