Динамика и максимизация


Я рассматриваю здесь связь акселератора и мультипликатора потому, что это типичный пример динамической системы, которую ни в каком полезном смысле нельзя связать с проблемой максимума. Обследуя больного, мы узнаем кое-что и о здоровых, а обследуя здоровых, мы можем также узнать что-то и о больных. Тот факт, что проблема "акселератор-мультипликатор" не может быть связана с максимизацией, сильно затрудняет ее анализ Так, когда один мои коллега был молод, он написал под моим руководством докторскую диссертацию (Eckaus, 1954), обобщив анализ взаимодействия акселератора-мультипликатора для случая многих секторов и многих стран.

Это было прекрасное исследование, д-р Эккаус с большой изобретательностью и изяществом выжал из модели все, что можно было выжать. Одновременно он, по-видимому, был первым, кто обнаружил, что отношение величины полезного выпуска к затратам первоклассных интеллектуальных ресурсов было при этом в каком-то смысле разочаровывающим "великой простоты" получилось слишком мало. Добросовестный исследователь должен был указать на широкий круг возможностей, которые могли бы реализоваться, и затратить значительные умственные усилия на классификацию и систематизацию этих возможностей.
Для того чтобы проиллюстрировать действительную неподатливость этой проблемы, позвольте рассказать вам об одной серьезной трудности, возникающей при ее анализе. Представим себе Европу 1970 г. в виде 17-секторного комплекса мультипликаторов и акселераторов, который является устойчивым, то есть мы можем показать, что все его характеристические корни являются демпфирующими и ослабляющими, а не антидемпфирующими и порождающими взрывную динамику. Теперь обратимся к истории и возьмем 1950 г. Коэффициенты модели Европы будут несколько другими, однако мы снова будем считать, что они порождают устойчивую систему. Теперь позвольте мне сообщить вам в точности один бит информации. В 1960 г., который лежит посредине, по чудесному совпадению оказалось, что коэффициенты модели во всех до единого случаях в точности равны средним арифметическим между коэффициентами 1950 и 1970 гг.

Что вы сказали бы об устойчивости системы в 1960 г.?
Если мой вопрос не настроил вас на то, что вы столкнетесь с парадоксом, то я уверен, что вашим первым искушением было бы сказать, что это — устойчивая система, находящаяся на полпути от одной устойчивой системы к другой. Однако это не согласовывалось бы с результатами д-ра Эккауса. Парадокс получит объяснение, когда вы узнаете, что детерминантные условия устойчивости системы не определяют область устойчивости, задаваемую через соотношения между коэффициентами системы, как выпуклую (Samuelson, 1947).

Следовательно, точка на полпути между двумя точками области может сама оказаться вне этой области. Такой ситуации не возникает в случае максимизирующих систем, которые "ведут себя хорошо".
Полагаю, что сказал достаточно, чтобы показать, что самой трудной частью моей книги "Основы экономического анализа" (Samuelson, 1947) было рассмотрение статики и динамики немаксимизирующих систем.
Динамика и максимизация
Естественно, из этого не следует, что с помощью максимизации нельзя исследовать широкую область динамических процессов. Так, например, рассмотрим динамический алгоритм нахождения вершины горы, который реализуется с помощью "градиентного метода". Его идея заключается в том, что ваша скорость в каком-либо направлении пропорциональна наклону горы в том же самом направлении.

Нельзя рассчитывать, что такой метод приведет вас на высочайшую вершину Альп из любой начальной точки, находящейся в Европе. Однако он сходится к точке максимума любой вогнутой поверхности из тех, что фигурируют в школьных учебниках.
Подобно световым лучам в физике, о которых я говорил ранее, оптимальные траектории роста в теориях, выросших из новаторской работы Фрэнка Рамсея, появившейся более сорока лет тому назад (Ramsey, 1928), сами по себе демонстрируют богатство динамических явлений. Такая динамика совсем не похожа, скажем, на ту, которая составила предмет позитивистского анализа связи акселератора с мультипликатором. Может быть, вы помните, что сэр Уильям Гамильтон затратил много лет, пытаясь обобщить понятие комплексного числа на случай более чем двух измерений. Рассказывают, что его семья с сочувствием относилась к его исследованиям кватерниона, и каждый вечер дети приветствовали его по возвращении из астрономической обсерватории вопросом: "Папа, ты умеешь перемножать свои кватернионы?" лишь для того, чтобы получить грустный ответ: "Я умею складывать мои кватернионы, но я не умею их перемножать".



Если бы в 30-е годы Ллойд Метцлер и я имели детей, они каждый вечер спрашивали бы нас: "Все ли ваши характеристические корни вели себя хорошо и были устойчивы?" Ибо в те дни, находясь под впечатлением затянувшейся Американской Депрессии и ее нечувствительности к эфемерным государственным дотациям, мы были в какой-то мере во власти догмы устойчивости.
Совершенно иными были мои главные интересы в течение 50-х годов, когда я занимался бесплодными поисками доказательства так называемой "теоремы о магистрали" (Samuelson 1949a, 1960а, 1968b, Samuelson and Solow, 1956; Dorfman, Samuelson and Solow, 1958). Здесь речь тоже идет о модели максимизации, по крайней мере в смысле межвременной эффективности. Когда вы изучаете модель "затраты-выпуск" фон Неймана, вы сталкиваетесь с задачей нахождения минимакса, или седловой точки, подобной той, которая рассматривается в его же теории игр.

Это исключает возможность того, что ваши динамические характеристические корни будут демпфироваться. Так что если бы мои дети не относились к моей научной работе с тем чувством, которое можно назвать "снисходительным пренебрежением", то в 50-х годах они должны были бы спрашивать меня "Папа, образуют твои характеристические корни взаимно обратные или противоположные по знаку пары, соответствующие движению по цепной линии вокруг магистральной седловой точки?"
Могу ли я попросить вас о снисхождении? Позвольте мне отклониться от темы и рассказать один анекдот. Я делаю это с некоторым смущением, потому что, когда Tеня приглашали прочитать лекцию, профессор Лундберг предупредил, что это должна быть серьезная лекция.

Хотя и говорят, что я был нахальным молодым человеком, у меня было только одно столкновение с великим Джоном фон Нейманом, который, конечно, был гигантом современной математики и, кроме того, проявил свою гениальность в работе над водородной бомбой, теорией игр и основами квантовой механики. Ради того, чтобы дать представление о его величии, я готов даже с еще большим бесстыдством бросить вызов профессору Лундбергу и рассказать вам анекдот в анекдоте. Кто-то однажды спросил великого йельского математика Какутани: "Вы великий математик?" Какутани скромно ответил: "О, вовсе нет.

Я — рядовой трудяга, искатель истины" — "Ну, если вы не великий математик, то кого бы вы назвали таковым?" — спросили его. Какутани думал, думал, а затем, как гласит предание, наконец сказал "Джонни фон Неймана".
И вот с этим Голиафом у меня произошло столкновение. Как-то, а это было в 1945 г., фон Нейман читал лекцию в Гарварде о своей модели общего равновесия. Он заявил, что в ней используется новый математический аппарат, не связанный с традиционным математическим аппаратом физики и теорией экстремумов. Я подал голос из задних рядов, сказав, что это вовсе не отличается от понятия границы издержек упущенной выгоды, используемого в экономической теории, когда при фиксированных количествах всех ресурсов и всех, кроме одного, продуктов общество стремится максимизировать объем выпуска остающегося продукта.

Фон Нейман отреагировал на это с быстротой молнии, что было для него характерным: "Вы можете держать пари на одну сигару?" К стыду своему, должен сказать, что в этот раз маленький Давид, поджав хвост, бежал с поля боя. И все же когда-нибудь, когда я войду в ворота Святого Петра, я думаю, что половина сигары мне достанется, но только половина, потому что точка зрения фон Неймана также была обоснованной.
Беглый просмотр современных журналов и учебников показывает, что, в то время как студент, изучающий классическую механику, часто сталкивается со случаями колебаний около положения равновесия (например, маятника), студент-экономист чаще имеет дело с движениями по цепной линии около седловой точки: подобно тому как канат, подвешенный на двух гвоздях, принимает форму цепной линии, выпуклой в сторону земли, так и экономические движения совершаются вдоль цепной линии, выпуклой в сторону магистрали. Я хотел бы здесь напомнить о происхождении слова "магисталь" (Turnpike). Все американцы привыкли к тому, что если нужно попасть из Бостона в Лос-Анджелес, то лучше всего побыстрее доехать до главной магистрали и только в конце путешествия нужно свернуть с нее к пункту назначения.

Так же и в экономике для того чтобы обеспечить наиболее эффективное развитие страны, при определенных обстоятельствах следует как можно быстрее вступить на путь максимального и сбалансированного роста, так сказать, "оседлать" эту магистраль, а затем, по окончании, например, 20-летнего периода, свернуть к конечной цели развития. Здесь мы сталкиваемся с интересным эффектом: когда горизонт становится широким, вы проводите большую часть своего времени в пределах малого расстояния от магистрали. Все, больше я не буду произносить это слово, на котором можно сломать язык.

Интересные записи



Содержание раздела