Решение

Да, Трулюлю должен существовать. Именно с ним и разговаривала Алиса.
   Действительно, встретившийся ей братец утверждал, что оба следующих высказывания истинны:
(1) Я либо Труляля, либо Траляля.
(2) Сегодня я лгу.
   Если бы его утверждение было верно, то высказывания (1) и (2) были бы истинными. Но тогда было бы истинным высказывание (2), и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, встретившийся Алисе братец солгал, поэтому оба высказывания (1) и (2) не могут быть истинными (по крайней мере одно из них ложно). Высказывание (2) истинно (так как утверждение о высказываниях (1) и (2) ложно). Следовательно, высказывание (1) должно быть не истинным. Таким образом, встретившийся Алисе человечек не Труляля и не Траляля. Значит, его должны звать Трулюлю.